TABUNG, KERUCUT, DAN BOLA

TABUNG, KERUCUT, DAN BOLA


Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu:
Kompetensi Dasar :
1. Mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut dan bola
2. Menghitung luas selimut dan volume tabung, kerucut dan bola
3. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan tabung, kerucut dan bola

Unsur-Unsur Tabung dan Kerucut
Pembahasan sisi bangun ruang kali ini hanya ditujukan pada sisi bangun sebagai sekat yang membatasi antara bagian dalam dan bagian luar bangun ruang itu.
Perhatikan Gambar !
Gambar itu menunjukkan sebuah tabung yang terbentuk dari sebuah segi empat ABCD yang diputar terhadap sumbu AD sejauh 3600, atau satu putaran penuh.

1. Ada dua sisi, yaitu sisi alas dan sisi atas yang sama bentuk dan ukuran serta sejajar, masing-masing berbentuk lingkaran yang berpusat di A dan D.
2. Jarak alas dan tutup disebut tinggi tabung. Tinggi tabung dinotasikan dengan t.
3. Jari-jari lingkaran dari alas dan tutup adalah AB, sedangkan diameter nya BB' =2AB. Jari-jari tabung dinotasikan dengan r, sedangkan diameter tabung dinotasikan dengan d.
4. Selimut tabung merupakan bidang lengkung.

Dengan cara yang sama, dari sebuah ∆ ABC pada Gambar dapat dibuat sebuah kerucut dengan cara memutar segitiga siku-siku ABC terhadap sumbu AC sejauh 3600
Seperti tampak pada gambar :



Unsur-unsur kerucut adalah sebagai berikut.
1. Sisi alas berbentuk lingkaran berpusat di titik A.
2. AC disebut tinggi kerucut.
3. Jari-jari lingkaran alas, yaitu AB dan diameternya BB' = 2AB.
4. Sisi miring BC disebut apotema atau garis pelukis.
5. Selimut kerucut berupa bidang lengkung.
Dari uraian di atas, diperoleh bangun-bangun yang memiliki bidang lengkung dan bidang datar. Bidang lengkung dari bangun-bangun tersebut berupa selimut dan bidang datarnya berupa lingkaran.






LUAS DAN VOLUME BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
1. TABUNG
1.1. Pengertian Tabung
Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi yang kongruen dan sejajar yang berbentuk lingkaran serta sebuah sisi lengkung.
1.2. Unsur-unsur Tabung
Tabung memiliki 2 rusuk dan 3 sisi.





1.3. Luas dan volume tabung
• Luas permukaan tabung atau luas tabung:
L = luas sisi alas + luas sisi tutup + luas selimut tabung
= π r2 + π r2 + 2 π r t

= 2 π r2 + 2 π r t
= 2 π r (r + t)
• Luas tabung tanpa tutup :
Ltanpa tutup = luas sisi alas + luas selimut
= π r2 + 2 π r t
• Volume tabung :
V = luas alas x tinggi
= π r2 x t
= π r2 t


Tabung Berlubang/ Pipa




Dimana :
R = jari-jari (radius) luar
r = jari-jari (radius) dalam
t = tinggi

d = tebal kulit = R – r

Sehingga,

I = π ( R 2 x r 2 ) t

= π d (2 R – d ) t

= π d (2 r + d ) t

Lk = (2 π R + 2 π r) t

L = Lk + 2 (π R 2 – π r 2 )
Contoh:
Sebuah tabung mempunyai tinggi 13 cm dan jari-jari alasnya 7 cm. Tentukan luas permukaan tabung.
Jawab :
Tinggi tabung = 13 cm dan jari-jari alas = 7 cm.
Luas permukaan tabung = 2πr(r + t)
= 2 x 22/7 x 7 x (7 + 13)
= 44 x 20
= 880
Jadi luas permukaan tabung adalah 880 cm2
1.4 Melukis Jaring-Jaring Tabung Serta Menentukan Luasnya
Gambar dibawah menunjukkan sebuah tabung dengan panjang jari-jari alas dan tutupnya r dan tinggi t. Untuk mengetahui bentuk jaring-jaring suatu tabung, lakukan kegiatan berikut!





1. Ambil kaleng susu atau benda-benda lain yang berbentuk tabung (ukurannya jangan terlalu besar).
2. Jiplaklah bentuk tutupnya pada selembar kertas.
3. Tandai kaleng tersebut untuk posisi tertentu. Kemudian gelindingkan kaleng tersebut sampai kembali ke tanda yang diberikan sebelumnya.
4. Buatlah persegi panjang yang terbentuk dari kaleng dengan panjang adalah lintasan dari A ke- B. yaitu keliling bidang alas dan lebarnya setinggi kaleng tcrsebut.
5. Jiplaklah bentuk alas kaleng tersebut tepat di bawah persegi panjang.
Jika gambarnya benar, akan diperoleh bentuk .jaring-jaring seperti gambar dibawah.






Jaring-jaring tersebut terdiri atas :
1. selimut tabung yang berupa persegi panjang dengan panjang = keliling alas tabung = 2πr dan lebar = tinggi tabung = t:
2. dua buah lingkaran berjari-jari r. Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan cara berikut.
Luas selimut tabung = keliling alas x tinggi tabung
= 2πr x tinggi tabung
= 2πrt
Setelah memperoleh luas selimut tabung, dapat ditentukan pula luas permukaan tabung.
Luas permukaan tabung = luas lingkaran alas + selimut tabung + luas lingkaran tutup
= πr2+πrt + r2
= 2πr2 +2πrt
= 2πr(r+t)
Dapatkah kalian menentukan rumus luas tabung tanpa tutup Untuk setiap tabung dengan tinggi tabung t dan jari-jari alas tabung r berlaku rumus berikut.
Luas selimut tabung = 2πrt
Luas permukaan tabung = 2 πr(r + t)

















2. KERUCUT
2.1. Pengertian Kerucut
Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung.
2.2. Unsur-unsur Kerucut
Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi .





2.3. Luas dan volume kerucut
• Luas permukaan kerucut atau luas kerucut :
L = luas sisi alas + luas selimut kerucut
= π r2 + π r s
= π r (r + s)
• Volume kerucut :
V = 1/3 x luas alas x tinggi
= 1/3 x π r2 x t
= 1/3 π r2t
Kerucut Terpancung












Dimana :
R = jari-jari (radius) bidang alas
r = jari-jari bidang atas
t = tinggi
g = garis pelukis
La = luas alas
Lp = luas puncak

I = 1/3 π t ( R 2 x r 2 + Rr )

g ={ t 2 + ( R - r )2 }

Lk = π g ( R + r )

L = Lk + La + Lp

= { π g (R + r)} + π R 2 + π r 2
Contoh:
Sebuah kerucut mempunyai panjang jari-jari alasnya 6 cm dan tingginya 8 cm. Hitunglah luas sisi kerucut tersebut ( π = 3,14).
Jawab :
Jari-jari alas = r = 6cm
Tinggi kerucut = t = 8 cm
s2 = r2 + t2
s2 = 62+ 82 = 36 + 64 = 100
s =√100 = 10
Luas sisi kerucut = πr(r + s)
= 3,14 x 6 x (6 + 10) = 3,14 x 6 x l6 = 301,44
Jadi. luas sisi kerucut adalah 301,44 cm2
2.4 Melukis Jaring-Jaring dan Luas Kerucut

Gambar diatas menunjukkan sebuah kerucut dengan puncak P, tingginya t, jari-jari lingkaran alas r, dan garis pelukis kerucut s. Jaring-jaring kerucut dapat digambarkan dengan cara berikut.
1. Buatlah juring lingkaran dengan sudut 1200 pada suatu kertas, kemudian potong juring tersebut.
2. Buatlah suatu kerucut dengan menghubungkan garis pelukis PQ ke PQ'.
3. Jiplaklah lingkaran alas kerucut yang terbentuk pada suatu kertas.
4. Buka kembali kerucut dan jiplakkan tepat di atas lingkaran alas.
Jika gambarnya benar, akan diperoleh suatu jaring-jaring kerucut berikut.
1. lingkaran alas dengan pusat O dan jari-jari r;
2. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran PQQ' dengan jari-jari adalah garis pelukis selimut s dan panjang busur = 2πr.
Untuk mendapatkan luas juring PQQ', perhatikan uraian berikut. Jari-jari juring PQQ' = t. Lingkaran dengan jari-jari r mempunyai keliling = 2πs dan luas = πs2 sehingga diperoleh:

Jadi, luas selimut kerucut = luas juring PQQ' = πrs
Telah diketahui bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas selimut kerucut dan lingkaran alas sehingga luas sisi kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut.
Luas sisi kerucut = luas selimut kerucut + luas lingkaran alas
= πrs + πr2
= πr(s + r)
Untuk setiap kerucut dengan panjang garis pelukiss dan jari-jari alas kerucut r berlaku rumus berikut.
Luas selimut kerucut = πrs
Luas sisi kerucut = πr (r + s)

3. BOLA
3.1. Pengertian Bola
Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi lengkung/kulit bola.
3.2. Unsur-unsur Bola
Bola memiliki satu sisi.





3.3. Luas dan volume Bola
• Luas bola :
L = 4 x luas lingkaran
= 4 x π r2
= 4 π r2
• Volume bola :



V = 4 x volume kerucut
= 4 x 1/3 π r2 t
karena pada bola, t = r maka
= 4 x 1/3 π r2 r
= 4 x 1/3π r3
= 4/3 π r3
Gambar diatas merupakan gambar setengah bola dengan,jari-jari r. dan menunjukkan dua buah kerucut dengan jari-jari r dan tinggi r. Jika dilakukan percobaan dengan menuangkan cairan pada kedua kerucut sampai penuh, kemudian cairan dari kedua kerucut tersebut dituangkan dalam setengah bola maka cairan tersebut tepat memenuhi bentuk setengah bola. Dari percobaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.







Volume bola =4/3πr3 dengan r = jari-jari bola
Karena r = 1/2 d maka bentuk lain rumus volume bola adalah sebagai berikut.


• Bola Berlubang

R = jari-jari luar
r = jari-jari dalam
D = garis tengah luar
d = garis tengah dalam

I = 4/3 π ( R3 + r3 )

= 1/6 π ( D3 - d3 )

Lk luar = 4 π R2 = π D2

Lk dalam= 4 π r2 = π d2

• Tembereng Bola











R = jari-jari bola
t = tinggi tembereng
r1 = jari-jari bidang dasar
r2 = jari-jari bidang atas
La = luas bidang dasar

I = 1/6 π t ( 3 r12 + 3r22 + t2)

Lk = 2 π R t

L = Lk + La

= 2 π R t + π r12

• Juring Bola

•



R = jari-jari bola
t = tinggi juring
r = jari-jari dasar tembereng bola
La = luas alas tembereng

I = 2/3 π R2 t
L = 2 π R t + π rR


• Keratan Bola




R = jari-jari bola
r1 = jari-jarai dasar
r2 = jari-jari puncak
t = tinggi
La = luas dasar
Lp = luas puncak

I = 1/2 π r12 + 1/2 r22 + 1/6 π t3

Lk = 2 π R t

L = Lk + La + Lp
= 2 π Rt + π r12 + 2 π r2

• Cincin Bola





R = jari-jari bola
r1 = jari-jarai puncak
r2 = jari-jari dasar
t = tinggi cincin
k = panjang tali busur

I = 1/6 π t k2

Lk luar = 2 π R t

Lk dalam = π k ( r1 + r2 )

Lk = Lk luar + Lk dalam

= 2 π R t + π k ( r1 + r2)
Contoh:
Hitunglah luas sisi sebuah bola jika diketahui jari-jarinya = l0 dm.
Jawab:
Luas sisi bola = 4πr2
= 4 x 3,14 x 10
= 1.256 dm2
Jadi. luas sisi bola adalah 1.256 dm2.

PENGERTIAN TITIK, GARIS, SUDUT DAN KURVA

PENGERTIAN TITIK, GARIS, SUDUT, DAN KURVA

Titik

Titik tidak didefinisikan, tidak berbentuk dan tidak mempunyai ukuran. Titik merupakan suatu ide yang abstrak. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah, kemudian dibubuhi dengan nama titik itu. Nama sebuah titik biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, P, Q, R. perhatikan gambar dibawah ini

. A = Titik A . P = Titik P

Macam - macam titik

a. Titik balik (titik paling bawah / paling atas dari suatu parabola). Titik balik dibedakan atas titik balik maksimum dan titik balik minimum.

b. Titik bagi suatu garis (titik yang membagi sebuah garis).

c. Titik belok.

d. Titik berat.

e. Titik invarian (titik tetap/ titik simetri).

f. Titik pangkal (titik asal atau titik pusat koordinat).

g. Titik potong (dua buah ruas garis selalu berpotongan disatu titik, titiknya disebut titik potong).

h. Titik sudut (dua ruas garis yang salah satu ujungnya bertemu disatu titik dan membentuk sudut, titik temu ruas garis itu disebut titik sudut).

Garis

Garis adalah komponen pembentuk bangun datar dan bangun ruang. dalam matematika, garis dilambangkan dengan (). Garis selalu digambarkan sebagai garis lurus yang kedua ujungnya memiliki anak panah.

Contoh :

Garis AB ditulis

Sifat – sifat garis :

1. Jika diketahui kedua titik sembarang dalam ruang, maka melalui titik itu dapat dibuat satu garis.

2. Suatu garis dapat diperpanjang secara tak terbatas dikedua arahnya.

3. Suatu garis mungkin mempunyai banyak nama .

Unsur pembentuk garis adalah ruas garis. Ruas garis merupakan jajaran ruas garis yang saling menyambung membentuk garis. Ruas garis adalah garis yang dibatasi dua buah titik. Ruas garis dilambangkan dengan garis lurus tanpa panah (⎯).

Contoh :

Ruas garis CD di tulis

Jenis - jenis garis :

a. Garis bagi (garis yang membagi sebuah sudut bangun ruang menjadi bagian yang sama besar).

b. Garis berat (garis yang ditarik dari sebuah sudut bangun ruang dan membagi sisi yang dihadapan sudut itu menjadi bagian yang sama).

c. Garis bilangan (garis yang disetiap titiknya terdapat bilangan atau angka - angka).

d. Garis sejajar.

Dua garis dikatakan sejajar apabila :

- Terletak pada suatu bidang datar

- Tidak potong memotong

e. Garis tegak lurus (garis yang tegak lurus membentuk sudut 90°)

Sudut

Sudut adalah pertemuan/ perpotongan dua garis yang dilambangkan (∠) . sudut merupakan bangun yang bersisi dua dan sisi-sisinya bersekutu pada salah satu ujungnya. Sisi-sisi sudut terbentuk dari ruas-ruas garis. Titik persekutuannya disebut titik sudut. Sisi sudut juga disebut kaki sudut. Jika memberi nama sudut, huruf pada titik sudut terdapat ditengah. Contoh

Sudut ABC ditulis ∠ABC atau ∠B

Besar suatu sudut adalah ukuran daerah sudut itu. Untuk mengukur daerah sudut dipergunakan satuan sudut. Dalam matematika dikenal tiga macam satuan, namun yang sering dipakai adalah satuan sudut yang disebut derajat.

Macam-macam sudut

a. Sudut lancip

Sudut ABC disebut sudut lancip. Besarnya sudut lancip antara 0° - 90° atau 0° ∠ α ∠ 90°.

b. Sudut siku – siku

Sudut siku – siku besarnya 90°.

∠ A = sudut siku –siku yang dinyatakan

c. Sudut tumpul

Sudut besarnya lebih dari 90° tetapi kurang dari 180°.

Sudut A adalah sudut tumpul (90° ∠ A ∠ 180°)

d. Sudut azimuth

Sudut azimuth adalah sudut pada suatu titik yang menyatakan suatu arah terhadap arah utara yang diukur menurut arah putaran jarum jam. Sudut azimuth biasa digunakan dalam menentukan arah. Besar sudut biasa dinyatakan dengan tiga angka yang dimulai dari 000 – 360. Contoh

- A terletak pada jurusan 065° dari B

- B terletak pada jurusan 135° dari A

e. Sudut dalam berseberangan

Garis m sejajar garis p, ∠α dan ∠β adalah sudut- sudut dalam berseberangan (sudut – sudut dalam berseberangan sama besar)

f. Sudut luar berseberangan

Garis m sejajar garis p. sudut – sudut berseberangan adalah : ∠1 dan ∠3 (besar sudut sama besar). ∠2 dan ∠4 (besar sudut sama besar).

g. Sudut bertolak belakang

Dua garis yang berpotongan terbentuk sudut – sudut yang bertolak belakang

∠1 bertolak belakang dengan ∠3, ∠2 bertolak belakang dengan ∠4. Sudut – sudut yang bertolak belakang sama besar.

h. Sudut depresi

Sudut pada suatu titik yang diukur terhadap garis horizontal kesuatu arah dan berada dibawah garis horizontal.

∠α adalah sudut depresi dari A ke B.

i. Sudut elevasi (sudut ketinggian)

Sudut pada suatu titik yang diukur terhadap garis horizontal kesuatu arah dan berada diatas garis horizontal

∠α adalah sudut elevasi dari A ke B.

j. Sudut lurus (sudut yang besarnya 180°)

k. Sudut reflek (sudut yang besarnya 180°∠α∠360°)

Kurva

Kurva adalah garis dan ruas garis yang membentuk kurva – kurva sederhana. Kurva dapat digambarkan dengan bermacam – macam bentuk, bentuknya bisa teratur bisa juga tidak teratur. Dikenal 4 macam kurva yaitu :

1. Kurva tertutup sederhana

2. Kurva tidak tertutup sederhana

3. Kurva tertutup tidak sederhana

4. Kurva tidak tertutup tidak sederhana